«Софизмы»
«Правильно понятая ошибка
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.
«Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях».
Аристотель
Авторы: Садекова Кадрия
Холичева Илона
Аракелова Галина
Научный руководитель:
учитель математики
Счетчикова Н. В.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цитаты. Авторы. 2
2. Введение. 4
3. Понятие «Софизм». 5
4. Экскурс в Историю 6-8
5. Алгебраические софизмы. 9-23
6. Геометрические софизмы. 24-32
7. Арифметические софизмы. 33-35
8. Логические софизмы. 36-42
9. Заключение. 43-44
10. Список литературы. 45
2. Введение.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение.
3. Понятие «Софизм»
Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
4. Экскурс в Историю.
Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes — умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.
5. Алгебраические софизмы.
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1.«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства: a > - b
b > - b. Перемножив оба этих неравенства почленно,
получим неравенство
a·b>b·b,
разделим его на b (это законно, т.к. b>0), получим a > b. Записав же два других столь же бесспорных неравенства: b > - a
a > - aПеремножив оба этих неравенства почленно,
что b·a > a·a, а разделив на a>0,
получим b·a > a·a ,
разделим на а>0,
придем к b > a. Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка?
2.« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.
«Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях».
Аристотель
Авторы: Садекова Кадрия
Холичева Илона
Аракелова Галина
Научный руководитель:
учитель математики
Счетчикова Н. В.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цитаты. Авторы. 2
2. Введение. 4
3. Понятие «Софизм». 5
4. Экскурс в Историю 6-8
5. Алгебраические софизмы. 9-23
6. Геометрические софизмы. 24-32
7. Арифметические софизмы. 33-35
8. Логические софизмы. 36-42
9. Заключение. 43-44
10. Список литературы. 45
2. Введение.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение.
3. Понятие «Софизм»
Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
4. Экскурс в Историю.
Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes — умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.
5. Алгебраические софизмы.
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1.«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства: a > - b
b > - b. Перемножив оба этих неравенства почленно,
получим неравенство
a·b>b·b,
разделим его на b (это законно, т.к. b>0), получим a > b. Записав же два других столь же бесспорных неравенства: b > - a
a > - aПеремножив оба этих неравенства почленно,
что b·a > a·a, а разделив на a>0,
получим b·a > a·a ,
разделим на а>0,
придем к b > a. Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка?
2.« Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»
Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b.
Умножив это неравенство на b,
получим новое неравенство ab > b·b,
отнимем от обеих его частей a·a,
получим неравенство ab-a·a > b·b - a·a, равносильное a(b-a) > (b+a)(b-a).
Разделим обе части неравенства на b-a получим a > b+a,
прибавим к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b
имеем 2a >2b+a
откуда a > 2b
Итак, если a > b
a > 2bГде ошибка? 3. «Все числа равны»Возьмём два разных числа, такие что:
a <> 0, что:
a + c = b У
Умножим обе части на (a − b),
имеем:
(a + c)(a − b) = b(a − b) Раскрываем скобки, имеем:
a2 + ca − ab − cb = ba − b2+ cb
переносим вправо, имеем:
a2 + ca − ab = ba − b2 + cb a(a + c − b) = b(a − b + c) a = b Где ошибка?
4. Дважды два - пять!Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5.После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения
4(1:1)=5(1:1)
Устанавливаем: 2∙2=5.Где ошибка?
5.«Единица равна двум» Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3=4-6Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство 1-3+=4-6+ в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т.е. 2 = 2 Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство 1- = 2- Откуда следует, что 1=2Где ошибка?
6. «Неравные числа равны» Возьмём два неравных между собой произвольных числа a и b.
Пусть их разность равна c, т.е. a-b = c.
Умножив обе части этого равенства на (a-b), получим: (a-b)2 = c(a-b)раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab+b2 = ca-cbПреобразованием получаем a2-ab-ac = ab-b2-bcВынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа получим a(a-b-c) = b(a-b-c)Разделив последнее равенство на (a-b-c), получаем a = b Где ошибка?
7. «Любое число равно нулю»Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х=а+а+а+а+… .Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х=а+(а+а+а+….)в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а.
Так что можем записать, что х=а+х,
откуда заключаем, что а=0 Где ошибка?
8. «Единица равна нулю»Возьмем уравнение x-a=0Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х-а=0/х-аОткуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0Где ошибка?
9. « Всякое число равно своему удвоенному значению»Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим
а=а+а
а=2аГде ошибка?
10. « Если одно число больше другого, то эти числа равны»Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т > п , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т.е. а+b+c=d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на m, получим: ma+mb+mc=md,
na+nb+nc=ndСложив почленно равенства ma+mb+mc=md nd= na+nb+nc получим
ma+mb+mc+nd=na+nc+nb+md.
Перенося здесь nd вправо,
а md влево, имеем
ma+mb+mc-md=na+nb+nc-nd
Вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m(a+b+c-d)=n(a+b+c-d), Разделив обе части последнего равенства на (a+b+c-d), находим, что m=n.Где ошибка?
11. «Единица равна минус единице»Пусть число х равно 1.
Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1=0.
Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим: (х-1)(х+1)=0 Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем: х+1=0 и х = -1 Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к равенству 1= -1Где ошибка?
12. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть, а дм- длина спички,
b дм - длина столба.
Тогда b – a = c .
Имеем b - a = c,
b = a + c.
Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
b2 - ab = ca + c2.
Вычтем из обеих частей bc.
Получим:
b2- ab - bc = ca + c2 – bc
Вынесем общий множитель за скобки:
b(b - a - c) = c(a+c-b)
b(b-a-c)=-c(b-a-c)
Разделим обе части на (b-a-c)
Получим:
b = - c
c = b – a
b = a – b
a = 2b. Где ошибка?
6. Геометрические софизмыГеометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
1. «из точки на прямой можно опусть два перпендикуляра»
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем треугольник АВС.
На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д.
Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В.
Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой.
Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?
2.«Катет равен гипотенузе»
Дано:
Угол С равен 90˚
ВД - биссектриса угла СВА
СК = КА
ОК перпендикулярна СА
О - точка пересечения прямых ОК и ВД
ОМ перпендикулярна АВ
ОL перпендикулярна ВС
Имеем: треугольник LВО = треугольнику МВО,
ВL = ВМ,
ОМ = ОL = СК = КА,
треугольник КОА= треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые),
угол ОАК = углу МОА,
ОК = МА = СL,
ВА = ВМ + МА,
ВС = ВL + LС,
ВМ = ВL,
МА = СL,
ВА = ВС.
Где ошибка?
3.«Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором ADC+ABC=180˚Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках E и F. Соединив точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 180˚ , потому ADC + AEC = 180˚Сравнив равенства (1) и (2), получим ADC+ABC = ADC + AEC ABC = AEC Где ошибка?
4. Через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D.
Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой.
Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?
5. Докажем, что все треугольники равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, чтоОА=ОС иОД=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по катету и гипотенузе.Поэтому ÐДАО=ÐЕОС. В то же время ÐОАС=ÐОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ÐВАС=ÐДАО+ÐОАС=ÐЕОС+ÐОСА=ÐВАСИтак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС.
В чем ошибка?
6. Все треугольники равносторонние.
Рассмотрим ∆ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота, и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA. Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе. В чем ошибка?
7. «В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру” В окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем ∆ ABD и ∆CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда, ∆ABD = ∆CDE (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды. В чем ошибка?
7. Арифметические софизмы.
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
1. 9 тенге = 90000 тиын.
Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = 90000 тиын.
В чем ошибка?
2. 4=5.
Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5.
Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель.
Получим 4(1:1)= 5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5.
В чем ошибка?
3. «Чётное и нечётное»
«5 есть 2 + 3 («два и три»).
Два — число чётное,
три — нечётное, выходит,
что пять — число и чётное и нечётное. В чем ошибка?
4. «Один рубль не равен
ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп.
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
В чем ошибка?
8. Логические софизмы.Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять аб сурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
1. «Не знаешь то, что знаешь»«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
— «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». 2. «Лекарства»«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». 3. «Вор»«Вор не желает приобрести ничего дурного.
Приобретение хорошего есть дело хорошее.
Следовательно, вор желает хорошего».
4. «Отец — собака»«Эта собака имеет детей, значит, она — отец.
Но это твоя собака.
Значит, она твой отец.
Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят». 5. «Рогатый»«Что ты не терял, то имеешь.
Рога ты не терял.
Значит, у тебя рога». 6. «Самое быстрое не догонит самое медленное»Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
7. «Нет конца»Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца.
Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет. 8. «Медимн зерна»Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум.
Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум.
Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно.
Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом! 9. «Куча»Одна песчинка не есть куча песка.
Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча.
Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. 10. «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»Если не может - значит, он не всемогущий.
Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
11. Софизм «лгун».
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун.
В таком случае он скажет правду.
Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
12. «Равен ли полный стакан пустому?»Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
13. «Софизм Кратила»Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил, сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится.
14. «Софизм Эватла»Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)
9. Заключение.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые
софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Мы поняли, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
10. Список литературы
1. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия – М.: «Новый Диск», 2003. – ил.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
3. http://slovari.yandex.ru/
4. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» - М.: «Кирилл и Мефодий», 2004. – ил.
5. http://www.sunhome.ru/philosophy/1749
6. А. Г. Мадера «Математические софизмы»
7. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»
8. Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?» - СПб., 1919
9. Лямин А. А., «Математические парадоксы и интересные задачи». –М., 1911
10. Обреимов В. И. «Математические софизмы». – 2-е изд. – СПб., 1889.
Умножив это неравенство на b,
получим новое неравенство ab > b·b,
отнимем от обеих его частей a·a,
получим неравенство ab-a·a > b·b - a·a, равносильное a(b-a) > (b+a)(b-a).
Разделим обе части неравенства на b-a получим a > b+a,
прибавим к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b
имеем 2a >2b+a
откуда a > 2b
Итак, если a > b
a > 2bГде ошибка? 3. «Все числа равны»Возьмём два разных числа, такие что:
a <> 0, что:
a + c = b У
Умножим обе части на (a − b),
имеем:
(a + c)(a − b) = b(a − b) Раскрываем скобки, имеем:
a2 + ca − ab − cb = ba − b2+ cb
переносим вправо, имеем:
a2 + ca − ab = ba − b2 + cb a(a + c − b) = b(a − b + c) a = b Где ошибка?
4. Дважды два - пять!Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5.После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения
4(1:1)=5(1:1)
Устанавливаем: 2∙2=5.Где ошибка?
5.«Единица равна двум» Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3=4-6Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство 1-3+=4-6+ в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т.е. 2 = 2 Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство 1- = 2- Откуда следует, что 1=2Где ошибка?
6. «Неравные числа равны» Возьмём два неравных между собой произвольных числа a и b.
Пусть их разность равна c, т.е. a-b = c.
Умножив обе части этого равенства на (a-b), получим: (a-b)2 = c(a-b)раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab+b2 = ca-cbПреобразованием получаем a2-ab-ac = ab-b2-bcВынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа получим a(a-b-c) = b(a-b-c)Разделив последнее равенство на (a-b-c), получаем a = b Где ошибка?
7. «Любое число равно нулю»Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х=а+а+а+а+… .Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х=а+(а+а+а+….)в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а.
Так что можем записать, что х=а+х,
откуда заключаем, что а=0 Где ошибка?
8. «Единица равна нулю»Возьмем уравнение x-a=0Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х-а=0/х-аОткуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0Где ошибка?
9. « Всякое число равно своему удвоенному значению»Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим
а=а+а
а=2аГде ошибка?
10. « Если одно число больше другого, то эти числа равны»Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т > п , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т.е. а+b+c=d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на m, получим: ma+mb+mc=md,
na+nb+nc=ndСложив почленно равенства ma+mb+mc=md nd= na+nb+nc получим
ma+mb+mc+nd=na+nc+nb+md.
Перенося здесь nd вправо,
а md влево, имеем
ma+mb+mc-md=na+nb+nc-nd
Вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m(a+b+c-d)=n(a+b+c-d), Разделив обе части последнего равенства на (a+b+c-d), находим, что m=n.Где ошибка?
11. «Единица равна минус единице»Пусть число х равно 1.
Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1=0.
Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим: (х-1)(х+1)=0 Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем: х+1=0 и х = -1 Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к равенству 1= -1Где ошибка?
12. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть, а дм- длина спички,
b дм - длина столба.
Тогда b – a = c .
Имеем b - a = c,
b = a + c.
Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
b2 - ab = ca + c2.
Вычтем из обеих частей bc.
Получим:
b2- ab - bc = ca + c2 – bc
Вынесем общий множитель за скобки:
b(b - a - c) = c(a+c-b)
b(b-a-c)=-c(b-a-c)
Разделим обе части на (b-a-c)
Получим:
b = - c
c = b – a
b = a – b
a = 2b. Где ошибка?
6. Геометрические софизмыГеометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
1. «из точки на прямой можно опусть два перпендикуляра»
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем треугольник АВС.
На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д.
Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В.
Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой.
Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?
2.«Катет равен гипотенузе»
Дано:
Угол С равен 90˚
ВД - биссектриса угла СВА
СК = КА
ОК перпендикулярна СА
О - точка пересечения прямых ОК и ВД
ОМ перпендикулярна АВ
ОL перпендикулярна ВС
Имеем: треугольник LВО = треугольнику МВО,
ВL = ВМ,
ОМ = ОL = СК = КА,
треугольник КОА= треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые),
угол ОАК = углу МОА,
ОК = МА = СL,
ВА = ВМ + МА,
ВС = ВL + LС,
ВМ = ВL,
МА = СL,
ВА = ВС.
Где ошибка?
3.«Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором ADC+ABC=180˚Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках E и F. Соединив точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 180˚ , потому ADC + AEC = 180˚Сравнив равенства (1) и (2), получим ADC+ABC = ADC + AEC ABC = AEC Где ошибка?
4. Через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D.
Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой.
Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?
5. Докажем, что все треугольники равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, чтоОА=ОС иОД=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по катету и гипотенузе.Поэтому ÐДАО=ÐЕОС. В то же время ÐОАС=ÐОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ÐВАС=ÐДАО+ÐОАС=ÐЕОС+ÐОСА=ÐВАСИтак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС.
В чем ошибка?
6. Все треугольники равносторонние.
Рассмотрим ∆ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота, и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA. Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе. В чем ошибка?
7. «В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру” В окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем ∆ ABD и ∆CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда, ∆ABD = ∆CDE (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды. В чем ошибка?
7. Арифметические софизмы.
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
1. 9 тенге = 90000 тиын.
Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = 90000 тиын.
В чем ошибка?
2. 4=5.
Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5.
Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель.
Получим 4(1:1)= 5(1:1).
Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5.
В чем ошибка?
3. «Чётное и нечётное»
«5 есть 2 + 3 («два и три»).
Два — число чётное,
три — нечётное, выходит,
что пять — число и чётное и нечётное. В чем ошибка?
4. «Один рубль не равен
ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп.
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
В чем ошибка?
8. Логические софизмы.Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять аб сурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
1. «Не знаешь то, что знаешь»«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
— «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». 2. «Лекарства»«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». 3. «Вор»«Вор не желает приобрести ничего дурного.
Приобретение хорошего есть дело хорошее.
Следовательно, вор желает хорошего».
4. «Отец — собака»«Эта собака имеет детей, значит, она — отец.
Но это твоя собака.
Значит, она твой отец.
Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят». 5. «Рогатый»«Что ты не терял, то имеешь.
Рога ты не терял.
Значит, у тебя рога». 6. «Самое быстрое не догонит самое медленное»Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
7. «Нет конца»Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца.
Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет. 8. «Медимн зерна»Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум.
Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум.
Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно.
Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом! 9. «Куча»Одна песчинка не есть куча песка.
Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча.
Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. 10. «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»Если не может - значит, он не всемогущий.
Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
11. Софизм «лгун».
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун.
В таком случае он скажет правду.
Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
12. «Равен ли полный стакан пустому?»Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
13. «Софизм Кратила»Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил, сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится.
14. «Софизм Эватла»Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)
9. Заключение.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые
софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Мы поняли, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
10. Список литературы
1. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия – М.: «Новый Диск», 2003. – ил.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
3. http://slovari.yandex.ru/
4. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» - М.: «Кирилл и Мефодий», 2004. – ил.
5. http://www.sunhome.ru/philosophy/1749
6. А. Г. Мадера «Математические софизмы»
7. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»
8. Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?» - СПб., 1919
9. Лямин А. А., «Математические парадоксы и интересные задачи». –М., 1911
10. Обреимов В. И. «Математические софизмы». – 2-е изд. – СПб., 1889.
